组别
1
2
……
i
……
n
总和
平均
均方
1
..
J
.
k
X11
X12
…
X1j
…
X1k
X21
X22
…
X2j
…
X2k
Xi1
Xi2
…
Xij
…
Xik
Xn1
Xn2
…
Xnj
…
Xnk
T1
T2
Tj
Tk
2.3.1方差分析的基本原理和方法
1.
自由度和平方和的分解
设有K组样本，每样本均具有n个观察值，则该资料共有nk个观察值，数据如下表。
表
每组具n个观察值的k组样本的符号表
|
组别 |
1 |
2 |
…… |
i |
…… |
n |
总和 |
平均 |
均方 |
|
1 .. J . k |
X11 X12 … X1j … X1k |
X21 X22 … X2j … X2k |
|
Xi1 Xi2 … Xij … Xik |
|
Xn1 Xn2 … Xnj … Xnk |
T1 T2 Tj Tk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xij，i=1,2,……n，j=1,2,……k。
总平方和
(SST)
总变异是nk个观察值的变异，故其自由度为nk－1，平方和SST为：
式中，C
称为矫正数。
即：总平方和SST＝组内平方和SSe＋处理平方和SSt
上述总变异的自由度和平方和可分解为组间和组内两个部分。组间变异即k个平均数的变异，故其自由度为k－1，平方和
SSt 为：
组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差，故每组具有n－1个自由度，平方和为
，而总共有k
组资料，故组内自由度为k（n－1），而组内平方和SSe为：
因此，上述资料的自由度和平方和的分解式为：
总自由度＝组间自由度
＋
组内自由度
（nk-1）＝（k－1）+
k(n-1)
总平方和＝组间平方和
＋
组内平方和
均方的计算：
方差分析表
|
变异来源 |
自由度DF |
平方和SS |
均方MS |
F值 |
|
处理间 |
K-1 |
SS
t |
S
t2 |
St2/
Se2 |
|
处理内/误差 |
K(n-1) |
SSe |
Se2 |
|
|
总变异 |
nk-1 |
SST |
|
|
例1：测定东小麦品种东方红3号的蛋白质含量（％）10次，得其平均数为14.3，方差为1.621；测定农大139号的蛋白质含量5次，得其平均数为11.7，方差为0.135。试测验东方红3号小麦蛋白质含量的变异是否比农大139为大。
假设：H0：δ12＝
δ22
；HA：
δ12
> δ22
。
显著水平：α＝0.05,
DF1=9, DF2=4时,
F0.05,(9,4)＝6.00。
推断：此F＞F0.05，所以，P＜0.05
表
水稻不同药剂处理的苗高 苗
高(x)
cm 重复 A B C D 1 19 21 20 22 2 23 24 18 25 3 21 27 19 27 4 13 20 15 22
接受HA，即东方红3号小麦蛋白质含量的变异大于农大139。
例2：以A、B、C、D4种药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理得4个苗高观察值，结果如下表，试进行自由度和平方和的分解，并测验药剂间变异是否显著大于药剂内变异？
假设：H0：δ12＝
δ12
；HA：
δ12
> δ12
。
显著水平：
α＝0.05,
DF1=3, DF2=12时,
F0.05,(3,12)＝3.49。
自由度分解：
总变异自由度＝4×4－1＝15
药剂间自由度＝4－1＝3
药剂内自由度＝4（4－1）＝12
平方和分解：
SST=222
SSt=104
SSe=SST-SSt=222-104=118
均方：
ST2=222/15=14.80
St2=104/3=34.67
Se2=118/12=9.83
其中， Se2为4种药剂内变异的合并均方，是试验误差的估计值；药剂均方St2则为试验误差加上不同药剂对苗高的效应。
查表5（F值表）：自由度（3；12）
F.05=3.49；F.01=5.95
