组别
1
2
……
i
……
n
总和
平均
均方
1
.
.
J
.
k
X11
X12
…
X1j
…
X1n
X21
X22
…
X2j
…
X2n
Xi1
Xi2
…
Xij
…
Xin
X1n
X2n
…
Xjn
…
Xkn
T1
T2
Ti
Tk
2.3.2
单向分组资料的方差分析
1
组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析
设有K个处理，每处理均有n个供试单位的资料，其方差分析表为：
方差分析表
|
变异来源 |
自由度DF |
平方和SS |
均方MS |
F值 |
|
处理间 |
K-1 |
SSt |
St2 |
St2/
Se2 |
|
误差 |
K(n-1) |
SSe |
Se2 |
|
|
总变异 |
nk-1 |
SST |
|
|
1.1
单向分组资料方差分析数据的基本模式
表 每组具n个观察值的k组样本的符号表
|
组别 |
1 |
2 |
…… |
i |
…… |
n |
总和 |
平均 |
均方 |
|
1 . . J . k |
X11 X12 … X1j … X1n |
X21 X22 … X2j … X2n |
|
Xi1 Xi2 … Xij … Xin |
|
X1n X2n … Xjn … Xkn |
T1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
上述资料的自由度和平方和的分解式为：
总自由度＝组间自由度
＋
组内自由度
（nk-1）＝（k－1）+
k(n-1)
总平方和＝组间平方和
＋
组内平方和
或
总平方和
(SST)
总变异是nk个观察值的变异，平方和SST为：
式中，C
称为矫正数。
故
组间变异即k个平均数的变异，故其自由度为k－1，平方和
SS
t
为：
组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差，故每组具有n－1个自由度，平方和为
，而总共有k 组资料，故组内自由度为k（n－1），而组内平方和SSe为：
均方的计算：
总均方
组间均方
组内均方
方差分析表
|
变异来源 |
平方和SS |
自由度DF |
均方MS |
F值 |
|
处理间 |
SSt |
K-1 |
St2 |
St2/
Se2 |
|
处理内/误差 |
SSe |
K(n-1) |
Se2 |
|
|
总变异 |
SST |
nk-1 |
|
|
1
例题：
以A、B、C、D
4种药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理得4个苗高观察值，结果如下表，试进行自由度和平方和的分解，并测验药剂间变异是否显著大于药剂内变异？
表
水稻不同药剂处理的苗高
|
药剂 |
A |
B |
C |
D |
|
|
|
18 21 20 13 |
20 24 26 22 |
10 15 17 14 |
28 27 29 32 |
|
|
总和 |
72 |
92 |
56 |
116 |
T＝336 |
|
平均数 |
18 |
23 |
14 |
29 |
21 |
假设：H0：δ12＝δ22
；HA：
δ12
> δ22
。
显著水平：α＝0.05,
DF1=3, DF2=12时,
F0.05,(3,12)＝3.49。
计算过程：
a.
分解自由度
总自由度＝组间自由度
＋
组内自由度
(nk-1)=(k-1)+ k(n-1)
4×4－1＝（4－1）＋4（4－1）
15 ＝
3 ＋ 12
b.
分解和平方和：
总平方和
∑x2=182+202+212+……+322=623
C=336÷16＝21 C=3362÷16＝7 056
SST=623-21=602
组间平方和
∑(722+922+562+1162)÷4－7 056＝504
组内平方和(SSe)＝总平方和－组间平方和＝602－504＝98
c. 计算均方
总均方
＝602÷15＝40.13
组间总方
＝504÷3＝168.0
组内均方
＝98÷12＝8.17